Programme des interrogations orales

Programme d'interrogations orales L2 - second semestre

Les interrogations orales débuteront le lundi 30 janvier et chaque groupe passera une semaine sur deux (donc 5 planches au total).

semaine du 24 avril au 28 avril

Modélisation et probabilités

Cours : Probabilité.  Expérience aléatoire, événements, probabilité, espace de probabilité.  Formule de Poincaré (utilisation de la formule de Poincaré pour le problème des rencontre), formule de Bayles. Probabilité conditionnelle à un événement, événements indépendants. Modélisation. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire, exemples de variables aléatoires discrètes ou admettant une densité. Loi usuelles : Bernoulli,  binômiale, hypergéométrique, géométrique, uniforme, exponentielle, normale, Cauchy. Inégalité de Markov, de Tchebychev, de Cauchy. Lien en densité et fonction de répartition. Vecteurs aléatoires à densité sur R^2.

Exercices : Probabilité. Exercices de modélisation en probabilité. Calcul simple d'espérance ou de probabilité pour des lois à densité. Calcul de la fonction de répartitions de variables aléatoires à densité pour déterminer leur densité.

Topologie en dimension 2

Tdm et p : Fonctions de R² dans R. Applications partielles, dérivées partielles, fonctions de classe C1. Quelles équations aux dérivées partielles du 1er ordre (guidées). Dérivées partielles d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz. Hessienne.
Extrema des fonctions de deux variables. Seuls les deux premiers exercices de la fiche de TD ont été traités mais la méthode a été complètement exposée et justifiée.

Suites et séries de fonctions

Les séries de fonctions (pas de série entière, les exercices n'ayant pas encore été traités, ni même l'intégralité du cours).

semaine du 18 avril au 21 avril

Modélisation et probabilités

Cours : Probabilité.  Expérience aléatoire, événements, probabilité, espace de probabilité.  Formule de Poincaré (utilisation de la formule de Poincaré pour le problème des rencontre), formule de Bayles. Probabilité conditionnelle à un événement, événements indépendants. Modélisation. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire, exemples de variables aléatoires discrètes ou admettant une densité. Loi usuelles : Bernoulli,  binômiale, hypergéométrique, géométrique, uniforme, exponentielle, normale, Cauchy.

Exercices : Exercices de modélisation en probabilité. Calcul simple d'espérance ou de probabilité pour des lois à densité.

Topologie en dimension 2

Tdm et p : Fonctions de R² dans R. Applications partielles, dérivées partielles, fonctions de classe C1. Quelles équations aux dérivées partielles du 1er ordre (guidées).

semaine du 27 mars au 31 mars

Modélisation et probabilités

Cours : Probabilité.  Expérience aléatoire, événements, probabilité, espace de probabilité.  Formule de Poincaré (utilisation de la formule de Poincaré pour le problème des rencontre), formule de Bayles. Probabilité conditionnelle à un événement, événements indépendants. Début de la modélisation, loi binômiale, loi hypergéométrique.

Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire, exemples de variables aléatoires discrètes ou admettant une densité.

Exercices : Exercice simple de modélisation en probabilité. Pas encore d'exercices sur les variables aléatoires.

Topologie en dimension 2

Tdm et p : Fonctions de R² dans R. Applications partielles, dérivées partielles, fonctions de classe C1.

 

Suites et séries de fonctions

Propriétés de la somme d'une série de fonctions (continuité, classe C^1,...)

 

semaine du 20 mars au 24 mars

Modélisation et probabilités

Les étudiants avaient leur partiel la semaine dernière sur tout ce qui concerne le calcul intégral.

Cours : Probabilité.  Expérience aléatoire, événements, probabilité, espace de probabilité.  Formule de Poincaré (utilisation de la formule de Poincaré pour le problème des rencontre), formule de Bayles. Probabilité conditionnelle à un événement, événements indépendants. Début de la modélisation, loi binômiale, loi hypergéométrique.

Intégrales multiples. Théorème de Fubini sur les pavés et les domaines élémentaires. Formules de changement de variables dans les intégrales doubles avec le déterminant de la matrice jacobienne. Changement de variables en polaire dans les intégrales doubles.

Exercices : Exercice simple de modélisation en probabilité. Exercices avec les intégrales multiples.

Topologie en dimension 2

Tdm : Compacité, propriétés des fonctions continues sur les compacts. Fonctions de R² dans R. Applications partielles, dérivées partielles, fonctions de classe C1.

Tdp : Limites des fonctions, continuité des fonctions, prolongement par continuité, image réciproque d'un ouvert d'un fermé.  Compacité, propriétés des fonctions continues sur les compacts.

Suites et séries de fonctions

Le cours sur les séries de fonctions a été traité mais, pour les deux groupes, peu d'exercices ont été faits pour le moment. Interroger donc quasi-exclusivement sur des exemples particuliers pour l'étude des différents modes de convergence (et éviter les questions sur la continuité, dérivabilité etc de la somme d'une série de fonctions).

 

semaine du 13 mars au 17 mars

 

Suites et séries de fonctions

Programme pour les colles: sommes de Riemann, intégrales et primitives (pas de primitivation, mais intégrale de la "borne d'en haut").

Modélisation et probabilités

Cours : Probabilité. (Uniquement pour les étudiants de P.M. Samson). Expérience aléatoire, événements, probabilité, espace de probabilité.  Formule de Poincaré (utilisation de la formule de Poincaré pour le problème des rencontre). Début de la modélisation, loi binômiale.

Intégrales multiples. Théorème de Fubini sur les pavés et les domaines élémentaires. Formules de changement de variables dans les intégrales doubles avec le déterminant de la matrice jacobienne. Changement de variables en polaire dans les intégrales doubles.

Intégrales impropres ou généralisées en un points ou en l'infini. Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand. Théorèmes d'existence d'intégrales généralisées pour des fonctions de signes constants. Intégrales généralisées absolument convergentes. 

Exercices : Exercice simple de modélisation en probabilité.

Calcul d'intégrales doubles sur des domaines élémentaires avec ou sans changement de variables, en utilisant le théorème de Fubini. Les exercices sont ciblés sur la pratique du calcul intégral plutot que sur les difficultés théoriques.  

Convergence d'une intégrale généralisée en utilisant les théorèmes de comparaison ou l'absolue convergence (par comparaison avec par exemple des intégrales de Riemann). Intégration par partie, changement de variables avec des intégrales généralisées.

Noter qu'il y a toujours un petit  décalage entre le cours de P.M. Samson et celui de  O. Guédon.

Topologie en dimension 2

Tdm et Tdp: Limites des fonctions, continuité des fonctions, prolongement par continuité, image réciproque d'un ouvert d'un fermé.  Compacité, propriétés des fonctions continues sur les compacts. (Tdp : insister un peu  moins sur ce dernier point mais le cours et des exemples simples doivent être maîtrisés)

semaine du 6 mars au 10 mars

Modélisation et probabilités

Cours : Intégrales multiples. Théorème de Fubini sur les pavés et les domaines élémentaires. Formules de changement de variables dans les intégrales doubles avec le déterminant de la matrice jacobienne. Changement de variables en polaire dans les intégrales doubles.

Intégrales impropres ou généralisées en un points ou en l'infini. Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand. Théorèmes d'existence d'intégrales généralisées pour des fonctions de signes constants. Intégrales généralisées absolument convergentes. 

Exercices : Calcul d'intégrales doubles sur des domaines élémentaires avec ou sans changement de variables, en utilisant le théorème de Fubini. Les exercices sont ciblés sur la pratique du calcul intégral plutot que sur les difficultés théoriques.  

Convergence d'une intégrale généralisée en utilisant les théorèmes de comparaison ou l'absolue convergence (par comparaison avec par exemple des intégrales de Riemann). Intégration par partie, changement de variables avec des intégrales généralisées.

Noter qu'il y a une semaine de cours de décalage entre le cours de P.M. Samson et celui de  O. Guédon. Le cours de PM Samson sur les intégrales doubles est terminé, O. Guédon doit encore passer une semaine sur cette thématique.

Topologie en dimension 2

Tdm : Suites convergentes dans R². Limites des fonctions, continuité des fonctions : image réciproque d'un ouvert d'un fermé.  Compacité, propriétés des fonctions continues sur les compacts.

Tdp : Programme de la semaine précédente plus pg du Tdm de cette semaine pour les questions de cours possibles.

Suites et séries de fonctions

Le cours d'intégration (construction de l'intégrale de Riemann) a été entièrement traité. Interrogez essentiellement les étudiants sur les sommes de Riemann et sur des propriétés générales de l'intégrale.

semaine du 27 février au 3 mars

Modélisation et probabilités

Cours : Intégrales impropres ou généralisées en un points ou en l'infini. Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand. Théorèmes d'existence d'intégrales généralisées pour des fonctions de signes constants. Intégrales généralisées absolument convergentes. 

Exercices : Convergence d'une intégrale généralisée en utilisant les théorèmes de comparaison ou l'absolue convergence (par comparaison avec par exemple des intégrales de Riemann). Intégration par partie, changement de variables avec des intégrales généralisées.

Topologie en dimension 2

Tdm : Idem semaine dernière avec en plus, adhérence (tout), suites convergentes dans R². Limites des fonctions, continuité (définitions et définitions séquentielles).
Le Td avait un contrôle cette semaine, l'avancement du cours et du Td a été limité.

Tdp : Ouverts, Fermés, propriétés. Recherche de parties de R² ouvertes ? Fermées ? Bornées ?
Définition séquentielle des fermés. Point adhérent, adhérence. A est fermée ssi A= adh(A).
Exemples simples de recherche d'adhérence.
 

semaine du 20 au 24 février

Modélisation et probabilités

Cours : Intégrales impropres ou généralisées en un points ou en l'infini. Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand. Théorèmes d'existence d'intégrales généralisées pour des fonctions de signes constants. Intégrales généralisées absolument convergentes. 

Exercices : Convergence d'une intégrale généralisée en utilisant les théorèmes de comparaison ou l'absolue convergence (par comparaison avec par exemple des intégrales de Riemann). Intégration par partie, changement de variables avec des intégrales généralisées.

Topologie en dimension 2

Tdm : Parties Ouvertes, fermées, bornées de R². Suites convergentes dans R². Caractérisation des fermés par les suites.
Point adhérent, adhérence (recherche de l'adhérence de parties simples de R et R²).

Tdp : Normes, distances. Boules ouvetes, fermées. Définition des ouverts, exemples, propriétés. définition des fermés. 
Interroger uniquement sur normes et distances et boules associées.

 

Suites et séries de fonctions

L'intégralité du chapitre suites de fonctions est au programme. De l'approximation polynômiale a été abordée, et les deux théorèmes de Dini ont été vus.

semaine du 6 au 10 février

Topologie en dimension 2

TD m : même programme que la semaine dernière avec, en plus, ouverts et fermés, propriétés, exemples classiques.
Caractérisations de parties de R² ouvertes, fermées ou non, bornées ou non. Fiche de TD jusqu'à l'exercice 6.
 

TD p (prépa/Maths/IMI) : Ne pas interroger sur le sujet, je n'ai repris le cours que cette semaine.

 

semaine du 30 janvier au 3 février

Modélisation et probabilités

Cours : Intégrale de Riemann sur un intervalle [a,b] borné : approche succinte de l'intégrale de Riemann (qui sera étudiée plus en détail dans le cours "suite et séries de fonctions"), propriétés de l'intégrale (non démontrées en cours) (relation de Chasles, linéarité, positivité, croissance), relation entre primitive et intégrale pour f continue sur [a,b], intégration par parties, changement de variable, inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercices :   Reconnaissance de primitives issues de fonctions composées. Calcul d'intégrales de fonctions continues sur un intervalle par intégration par partie ou changement de variables.

Suites et séries de fonctions

Suites de fonctions. Convergence simple, convergence uniforme : définitions, formalisation en epsilon, interprétations, notamment graphiques, exemples, propriété : "La convergence uniforme sur un intervalle $I$ implique la convergence simple sur $I$" (sans réciproque). Norme de la convergence uniforme ; notation $\|f\|_{\infty,I}= \sup_{x\in I}|f(x)|$.

Théorème 1 : Limite uniforme d'une suite de fonctions continues, énoncé et démonstration, exemples et contre-exemples. Théorème 2 : Intégration et limite uniforme d'une suite de fonctions, énoncé et démonstration, exemples et contre-exemples.

Topologie en dimension 2

Norme et distance euclidiennes sur $\mathbb{R}^n$, plus particulièrement sur $\mathbb{R}^2$, inégalité de Cauchy-Schwarz. Définitions des espaces vectoriels normés et des espaces métriques. Boules ouvertes, fermées, sphères. Exercices faits en TD : Exemples de normes. Différentes boules...

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Programme Modélisation et Probas - 2016-17.pdf65.93 Ko
Ancien cours Suites séries de fonctions.pdf174.57 Ko
SuitesFonctions_Luc.pdf149.17 Ko
TDS4MIsuitesfct_Frederic.pdf120.23 Ko
Topo TD1 16-17.pdf57.91 Ko
TD1-Proba (calcul intégral) 16-17.pdf128.99 Ko
TD2-16-17-intégrales généralisées.pdf109.65 Ko
TD2 16-17.pdf63.55 Ko
Topo TD2 16-17.pdf63.55 Ko
TD3-16-17 - int-multiples.pdf110.65 Ko
TD3 Topo 16-17.pdf63.4 Ko
TD4-16-17-proba-modélisation.pdf109.35 Ko
TD5-16-17-proba.pdf120.18 Ko
TD6-16-17-proba.pdf92.82 Ko
Topo dim 2 TD4 extrema 16-17.pdf56.09 Ko